Question

如圖，已知△ABC的面積是的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于    （結果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后求出其邊長，過點F作FH⊥AE，過C作CM⊥AB，利用三角函數求出HF的值，即可得出三角形AFE的面積．
解答：解：作CM⊥AB于M，
∵等邊△ABC的面積是，
∴設BM=x，∴tan∠BCM==，
∴BM=CM，
∴×CM×AB=×2×CM²=4，
∴CM=2，BM=2，
∴AB=4，AD=AB=2，
在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設AH=HF=x，則EH=xtan30°=x．
又∵AH+EH=AE=AD=2，
∴x+x=2，
解得x=3-．
∴S_△AEF=×2×（3-）=3-．
故答案為：3-．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和等邊三角形的性質等知識點，解得此題的關鍵是根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問題可解．