Question

如圖，拋物線y=a（x-h）²+k經過點A（0，1），且頂點坐標為B（1，2），它的對稱軸與x軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內的拋物線上求點P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標．
（3）上述點是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=a（x-h）²+k的頂點坐標是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x-1）²+2，再把A點坐標代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點即為點P，解方程組即可求出P點坐標；
（3）先求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標，再與P點的坐標比較進行判斷．滿足條件的點一定是與直線AC平行且與拋物線有唯一交點的直線與拋物線相交產生的，易求出直線AC的解析式，設出與AC平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點坐標，通過判斷它與點P是否重合來判斷點P是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點．
解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-h）²+k頂點坐標為B（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵拋物線經過點A（0，1），
∴a（0-1）²+2=1，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2或y=-x²+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
過點O作AC的垂線l，根據等腰三角形的“三線合一”的性質知：l是AC的中垂線，
∴l與拋物線的交點即為點P．
如圖，直線l的解析式為y=x，
解方程組，
得，（不合題意舍去），
∴點P的坐標為（，）；

（3）點P不是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點．
由（1）知，點C的坐標為（1，0）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴直線AC的解析式為y=-x+1．
設與AC平行的直線的解析式為y=-x+m．
解方程組，
代入消元，得-x²+2x+1=-x+m，
∵此點與AC距離最遠，
∴直線y=-x+m與拋物線有且只有一個交點，
即方程-x²+2x+1=-x+m有兩個相等的實數根．
整理方程得：x²-3x+m-1=0，
△=9-4（m-1）=0，解之得m=．
則x²-3x+-1=0，解之得x₁=x₂=，此時y=．
∴第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標為（，）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求直線、拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質，兩函數圖象交點坐標的求法，二次函數與一元二次方程的關系，綜合性較強，難度適中．