Question

已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分別是線段BC，CD上的點，且BE+FD=EF．求證：∠EAF=∠BAD．

Answer 1

【答案】分析：把△ADF繞點A順時針旋轉∠DAB的度數得到△ABG，AD旋轉到AB，AF旋轉到AG，根據旋轉的性質得到AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，由∠B+∠D=180°得∠B+∠ABG=180°，即點G、B、C共線，而BE+FD=EF，則有GE=EF，根據三角形全等的判定方法易得△AEG≌△AEF，則∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，于是有∠EAB+∠DAF=∠EAF，即可得到結論．
解答：證明：把△ADF繞點A順時針旋轉∠DAB的度數得到△ABG，AD旋轉到AB，AF旋轉到AG，如圖，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B+∠ABG=180°，
∴點G、B、C共線，
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF，
而∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠BAD．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角線段，對應線段線段；對應點的連線段所夾的角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質．