Question

如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，P是直線CD上一動點，連BP，過P作BP的垂線，交直線AD于E，交直線BC于F，若DE=1，CF=3，則PC=

8

．

Answer 1

分析：設AB=x，則BC=2x，由矩形的性質和已知條件可得：PC²=BC•CF，DE∥CF可證明△EDP∽△FCP，由相似三角形的性質可得：

DP

PC

=

DE

CF

，又因為AB=DP+PC，所以可建立關于x的方程，求出x的值，進而可求出PC的長．

解答：解：設AB=x，則BC=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴PC⊥BF，
∵BP⊥FP，
∴PC²=BC•CF，
∵BC=2x，CF=3，
∴PC²=6x，
∴PC=

6x

，
∵DE∥CF，
∴△EDP∽△FCP，
∴

DP

PC

=

DE

CF

，
即

DP

6x

=

1

3

，
∴DP=

6x

3

，
∵AB=CD=DP+CP=

6x

3

+

6x

=x，
∴x=

32

3

，
∴PC=

6x

=

6× 32 3

=8．
故答案為：8．

點評：本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是設未知數通過圖形中線段的數量關系建立方程，解方程即可，此題對學生的計算能力要求也很高．