Question

（2012•陵縣二模）有一個Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊AB在X軸上，直角頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=

2 3

x

第一象限內(nèi)的圖象上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-1，0）或（5，0）

．

Answer 1

分析：由Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，則可求得BC與AB的長，又由三角形面積公式，可求得斜邊AB上的高CD的長，然后由直角頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=

2 3

x

第一象限內(nèi)的圖象上，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后分別從當(dāng)A在B的右側(cè)與當(dāng)A在B的左側(cè)時去分析求解，即可求得答案．

解答：解：∵Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2×2 3

4

=

3

，
∴在Rt△BCD中，BD=

CD

tan∠ABC

=

3

3 3

=3，
∵直角頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=

2 3

x

第一象限內(nèi)的圖象上，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

3

，
∴x=

2 3

y

=

2 3

3

=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，

3

），
如圖1，當(dāng)A在B的右側(cè)時，OB=BD-OD=3-2=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-1，0）；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)時，OB=OD+BD=2+3=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5，0）；
綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-1，0）或（5，0）．
故答案為：（-1，0）或（5，0）．

點(diǎn)評：主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．