Question

【題目】如圖，M為等腰△ABD的底AB的中點，過D作DC∥AB，連結BC：AB＝8cm．DM＝4cm，DC＝1cm，動點P自A點出發，在AB上勻速運動，動點Q自點B出發，在折線BC﹣CD上勻速運動，速度均為1cm/s，當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動，設點P運動（s）時，△MPQ的面積為S（不能構成△MPQ的動點除外）．

（1）點Q在BC上運動時，求t的取值范圍；

（2）當點Q在CD上運動時，求t為何值時，△MPQ是等腰三角形；

（3）求S與t之間的函數關系式；當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）0＜t≤5且t≠4（s）；（2）t＝秒；（3）當0＜t＜4時S＝﹣t2+；當4＜t≤5時，S＝t2﹣；當5＜t≤6時，S＝2t﹣8；當t＝6時，S取到最大值，最大值為4

【解析】

（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，可以證到四邊形DCEM是矩形，從而可以求出BC的長，然后考慮不能構成△MPQ的情況，即可解決問題．

（2）易證QM≠MP，QP≠MP，若△MPQ是等腰三角形，只能是QM＝QP．由QF⊥MP可得：MF＝MP．再由MF＝DQ＝6﹣t，MP＝t﹣4可得到關于t的方程，解這個方程即可解決問題．

（3）由于點P在點M的兩邊時PM的表達式不同，點Q在線段BC和DC上時點Q到PM的距離的表達式不同，因此需分三種情況討論，然后只需用t的代數式表示出PM及其邊上的高，就可求出S與t之間的函數關系式．利用二次函數和一次函數的性質對以上三種情況進行分析，即可解決問題

解：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，如圖1，

∵DA＝DB，AM＝BM，

∴DM⊥AB．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝∠DMB＝90°．

∴CE∥DM．

∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，

∴四邊形DCEM是矩形．

∴CE＝DM＝4，ME＝DC＝1．

∵AM＝BM，AB＝8，

∴AM＝BM＝4．

∴BE＝BM﹣ME＝3．

∵∠CEB＝90°，CE＝4，BE＝3，

∴CB＝5．

∵當t＝4時，點P與點M重合，不能構成△MPQ，

∴t≠4．

∴當0＜t≤5且t≠4（s）時，點Q在BC上運動；

（2）當點Q在CD上運動即5≤t≤6時，如圖2，

則有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．

∵MP＝t﹣4＜6﹣4，即MP＜2，

∴QM≠MP，QP≠MP．

若△MPQ是等腰三角形，則QM＝QP．

∵QM＝QP，QF⊥MP，

∴MF＝PF＝MP．

∵MF＝DQ＝5+1﹣t＝6﹣t，MP＝t﹣4，

∴6﹣t＝（t﹣4）．

解得：t＝．

∴當t＝秒時，△MPQ是等腰三角形．

（3）①當0＜t＜4時，點P在線段AM上，點Q在線段BC上，

過點Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝t．

∵PM＝AM﹣AP＝4﹣t，

∴S＝PMQF

＝（4﹣t）t

＝﹣t2+t．

②當4＜t≤5時，點P在線段BM上，點Q在線段BC上，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）

＝t2﹣．

③當5＜t≤6時，點P在線段BM上，點Q在線段DC上，

此時QF＝DM＝4．

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）×4

＝2t﹣8．

綜上所述：當0＜t＜4時S＝﹣t2+；當4＜t≤5時，S＝t2﹣；當5＜t≤6時，S＝2t﹣8．

①當0＜t＜4時，S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴當t＝2時，S取到最大值，最大值為．

②當4＜t≤5時，S＝t2﹣t，對稱軸為x＝2．

∵＞0，

∴當x＞2時，S隨著t的增大而增大．

∴當t＝5時，S取到最大值，最大值為×52﹣×5＝2．

③當5＜t≤6時，S＝2t﹣8．

∵2＞0，

∴S隨著t的增大而增大．

∴當t＝6時，S取到最大值，最大值為2×6﹣8＝4．

綜上所述：當t＝6時，S取到最大值，最大值為4．