Question

（2010•河源）如圖，△ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過P作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當點P在邊AC上運動時，四邊形AECF可能是矩形嗎？說明理由；
（3）若在AC邊上存在點P，使四邊形AECF是正方形，且．求此時∠BAC的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明PE=PC，PF=PC，從而得到PE=PF；
（2）由一對鄰補角的平分線互相垂直，得出∠ECF=90°，故要使四邊形AECF是矩形，只需四邊形AECF是平行四邊形即可．由（1）知PE=PF，則點P運動到AC邊中點時，四邊形AECF是矩形．
（3）由正方形的對角線相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根據銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值求出∠A的大小．
解答：（1）證明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）解：當點P運動到AC邊中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中點，
∴AP=PC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=（∠BCA+∠ACD）=×180°=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形；

（3）解：若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC===，
∴∠BAC=30°．
點評：此題綜合考查了平行線的性質，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性質，銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值等知識點，難度較大．