Question

【題目】某酒店試銷售某種套餐，試銷一段時間后發現，每份套餐的成本為7元，該店每天固定支出費用為200元(不含套餐成本)． 若每份售價不超過10元，每天可銷售300份；若每份售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少30份． 設該店每份套餐的售價為x（x≥7）元，每天的銷售量為y份，每天的利潤為M元．

(1)直接寫出y與x的函數關系式；

(2)求出M與x的函數關系式；

(3)若該店既要吸引顧客，使每天的銷售量較大，又要獲取最大的利潤，則每份套餐的售價應定為多少元(為了便于計算，每份套餐的售價取整數)？此時，最大利潤為多少元？

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）M=；（3）當x=13時，M最大為1060

【解析】

（1）先根據x的取值范圍分類討論，再根據題意即可求出y與x的函數關系式；

（2）先根據x的取值范圍分類討論，再根據“總利潤=每份的利潤×份數－每天固定支出費用”即可求出M與x的函數關系式；

（3）由（2）的關系式和一次函數、二次函數最值的求法即可得出結論．

解：（1）由題意可得：若每份售價不超過10元，每天可銷售y=300份

若每份售價超過10元，y=300－30（x－10）=600－30x；

綜上：y=

（2）由題意可得：當時，M=300（x－7）－200=300x－2300；

當時，M=（x－7）y－200

=（x－7）（600－30x）－200

=-30x2＋810x－4400

綜上：M=

（3）當時，

∵300＞0

∴M隨x的增大而增大

∴此時當x=10時，M最大，最大值為300×10－2300=700；

當x＞10時，M==，其圖象的開口向下，對稱軸為直線x=

∵x為整數

∴當x=13或14時，M最大，最大值為1060

∵使每天的銷售量較大，

∴當x=13時，y=600－30×13=210；

當x=14時，y=600－30×14=180

故當x=13時，每天的銷售量較大

∵700元＜1060元

∴該店既要吸引顧客，使每天的銷售量較大，又要獲取最大的利潤，則每份套餐的售價應定為13元，此時，最大利潤為1060元．

答：該店既要吸引顧客，使每天的銷售量較大，又要獲取最大的利潤，則每份套餐的售價應定為13元，此時，最大利潤為1060元．