Question

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圓⊙O于點H，過點H作EF∥BC交AC、AB的延長線于點E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的長；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的條件下，求的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OH，證OH⊥EF即可．
（2）可通過相似三角形來求CH的長，證△CDH∽△ACH，于是便可得出關于CH，AH，DH的比例關系，即可求出HC的長．
（3）連接OC，OB，由已知可得到△COH是等邊三角形，（2）已經求出了CH的長，也就有了半徑的長，然后根據弧長的計算公式即可得出弧的長．
解答：（1）證明：連接OH，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAH=∠FAH．
∴．
又∵OH是⊙O的半徑，
∴OH⊥BC．
又∵EF∥BC，
∴EF⊥OH．
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠HCB=∠HAB，
∵∠HAB=∠HAC．
∴∠HCB=∠HAC．
又∵∠CHA是公共角，
∴△CDH∽△ACH．
∴．
∴CH²=8×2．
∴CH=4．

（3）解：連接OB，OC，
∵∠EAF=60°，
∴∠COB=120°，∠COH=60°．
∵OC=OH，∠COH=60°，
∴△COH是等邊三角形．
∴OC=OH=CH=4．
∴弧BHC的長=120°×π×4÷180°=．
點評：本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，圓周角定理等知識點，根據圓周角定理得出相應的角相等或角的度數是解題的關鍵．