Question

在矩形ABCD中，AD=2，2＜AB＜4，現將一個直徑MN為2的量角器如圖擺放，使其0°線的端點N與C重合，M與B重合，O為MN的中點，量角器的半圓弧與矩形ABCD的對角線AC、BD分別交于P、Q，設P、Q在量角器上的度數分別是x、y．
（1）求y與x之間的函數關系式（不必寫出自變量的取值范圍）；
（2）將量角器繞C點逆時針旋轉，使它的直徑落在AC上，如圖所示，O′為M′C的中點，此時量角器的半圓弧交DC于K，若K點的度數為z，那么z與y的數量關系是什么，請說明理由；
（3）在（2）問圖中，若M′B∥KO，求出此時AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓O和矩形ABCD是軸對稱圖形，得==x°，因此=180°-，問題得解；
（2）連接O′K，∠KPC=180°-2∠PCK，∠PCK=90°-∠PCB，∠PCB=∠POB=（180°-x），由此問題得解；
（3）連接M′B、M′K、OK，證得四邊形M′BOK為平行四邊形，M′K=OB=1，再由△M′KC∽△ADC，求得CD，問題得證．
解答：解：（1）在⊙O中，==x°，
∴=180°-，
即y=180°-x．

（2）z與y的數量關系是z=y．
理由：連接O′K，
由（1）知∠POB=∠COQ，
∴∠PCB=∠POB=（180°-x），
在矩形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠PCK=90°-∠ACB=x，
又∵O′K=O′C，
∴∠PKC=∠PCK，
∴∠KPC=180°-2∠PCK=180°-x．
即，z=y．

（3）如圖
連接M′B、M′K、OK，
在⊙O′中，CM′為直徑，
∴∠M′KC=90°，∠DCB=90°，
∴M′K∥BC，又M′B∥KO，
∴四邊形M′BOK為平行四邊形，
∴M′K=OB=1，
KC==，
∵M′K∥AD，
∴△M′KC∽△ADC，
∴=，即=，CD=，
因此AB=CD=．
點評：本題主要運用圓心角、圓周角及它們之間的關系，平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質來解決問題．