Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設DP=x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y．

（1）如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；
（2）如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上這時重疊部分的面積y等于多少？
（3）閱讀材料：已知銳角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα來表示，即（α≠45°）．根據上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．
（提示：在圖丙中可設∠DAP=a）

Answer 1

解：（1）由題意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
設AE=CE=m，則BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，∴m=8.2．
∴重疊部分的面積y=•CE•AB=×8.2×8=32.8（平方單位）．
（另法：過E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由題意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′==6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5．
此時y=•AD•DP=×10×5=25（平方單位）．
表明當DP=5時，點D恰好落在BC邊上，這時y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙兩種情形的分界點．
當0≤x≤5時，由圖甲知y=S_△ADP=S_△ADP=•AD•DP=5x．
當5＜x＜8時，如圖丙，設∠DAP=α，則∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=．
根據閱讀材料，即，得出tan2α=．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α==．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=．
∴S_△ABE=•AB•BE=×8×=．
S_△PCF=•PC•CF=（8-x）×=．
而S_梯形ABCP=（PC+AB）×BC=（8-x+8）×10=80-5x．
故重疊部分的面積y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x--．
經驗證，當x=8時，y=32.8適合上式．
綜上所述，當0≤x≤5時，y=5x；當5＜x≤8時，y=80-5x--．
分析：（1）根據三角形的面積公式，只需求得CE的長，根據平行線的性質以及折疊的性質發現等腰三角形ACE，設CE=m，則DE=10-m．在直角三角形CED′中，根據勾股定理即可求解；
（2）要求DP的長，也可在直角三角形CPD′中，根據勾股定理求解；
（3）根據（2）的結論，知分為兩種情況討論：當0≤x≤5時，由圖甲知y=S_△ADP；當5＜x＜8時，如圖丙，重疊部分的面積即是直角梯形的面積減去兩個直角三角形的面積．
點評：此題要能夠結合矩形的性質和折疊的性質發現對應的角相等和對應的線段相等，熟練運用勾股定理列方程求解．能夠分情況討論重疊部分的面積．難度較大．