Question

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經發現了它的許多性質．只要善于觀察、樂于探索，我們還會發現更多的結論．
（1）四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形（如圖①），其中相對的兩對三角形的面積之積相等．你能證明這個結論嗎？試試看．
已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點．（如圖①）
求證：S_△OBC•S_△OAD=S_△OAB•S_△OCD；
（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結論？若能，寫出你猜想的結論，并證明：若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的面積公式，則應分別分別過點A、C，做AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F．然后根據三角形的面積公式分別計算要證明的等式的左邊和右邊即可；
（2）根據（1）中的思路，顯然可以歸納出：從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．證明思路類似．

解答：
證明：（1）分別過點A、C，做AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，
則有：S_△AOB=

1

2

BO•AE，
S_△COD=

1

2

DO•CF，
S_△AOD=

1

2

DO•AE，
S_△BOC=

1

2

BO•CF，
∴S_△AOB•S_△COD=

1

4

BO•DO•AE•CF，
S_△AOD•S_△BOC=

1

4

BO•DO•CF•AE，
∴S_△AOB•S_△COD=S_△AOD•S_△BOC．（4分）；

（2）能．
從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．
或S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC，（5分）
已知：在△ABC中，D為AC上一點，O為BD上一點，
求證：S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC．
證明：分別過點A、C，作AE⊥BD，交BD的延長線于E，作CF⊥BD于F，
則有：S_△AOD=

1

2

DO•AE，S_△BOC=

1

2

BO•CF，
S_△OAB=

1

2

OB•AE，S_△DOC=

1

2

OD•CF，
∴S_△AOD•S_△BOC=

1

4

OB•OD•AE•CF，
S_△OAB•S_△DOC=

1

4

BO•OD•AE•CF，
∴S_△AOD•S_△BOC=S_△OAB•S_△DOC．

點評：恰當地作出三角形的高，根據三角形的面積公式進行證明．