Question

如圖，直線分別交x軸、y軸于B、A兩點，拋物線L：y=ax²+bx+c的頂點G在x軸上，且過（0，4）和（4，4）兩點。

（1）求拋物線L的解析式；
（2）拋物線L上是否存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，若存在，請求出C點的坐標，若不存在，請說明理由。
（3）將拋物線L沿軸平行移動得拋物線L₁，其頂點為P，同時將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，使點D落在拋物線L₁上，試問這樣的拋物線L₁是否存在，若存在，求出L₁對應的函數關系式，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線L過（0，4）和（4，4）兩點，由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2 ∴G（2，0），將（2，0）、（4，4）代入， 得，解得 ∴拋物線L的解析式為。 （2）∵直線分別交x軸、y軸于B、A兩點， ∴A（0，3），B（-，0） 若拋物線L上存在滿足的點C，則AC∥BG， ∴C點縱坐標此為3，設C（m，3）， 又C在拋物線L，代入解析式： ∴， 當時，BG=，AG= ∴BG∥AG且BG=AG，此時四邊形ABGC是平行四邊形，舍去 當時，， ∴BG∥AG且BG≠AG，此時四邊形ABGC是梯形 故存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形， 其坐標為：C（，3）。
（3）假設拋物線L1是存在的，且對應的函數關系式為 ∴頂點P（n，0） Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°， 又△ABD≌△ABP ∴∠ABD=60°，BD=BP= 如圖，過D作DN⊥軸于N點， Rt△BND中，BD=，∠DBN=60° ∴ ∴D（，） 即 又D點在拋物線上 ∴ 整理得 解得， 當時，P與B重合，不能構成三角形，舍去， ∴當時，此時拋物線為。