Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，等腰直角三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，是基礎題，熟記三角形全等的判定方法與各性質是解題的關鍵．