Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△OAB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點B坐標為（

3

，1），以OB所在直線為對稱軸將△OAB作軸對稱變換得△OCB．現有動點P從點O出發，沿線段OA向點A運動，動點Q從點C出發，沿線段CO向點O運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．設點P運動的時間為t秒．
（1）求∠AOC的度數；
（2）若四邊形BCQP的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數關系式；
（3）設PQ與OB交于點M，
①當△OMQ為等腰三角形時，求t的值．
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結論．

Answer 1

分析：（1）判斷出△OCB≌△OAB，故可得到∠COB=∠AOB=30°，根據折疊不變性即可得到∠AOC=60；
（2）根據S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，再結合三角形的面積公式，即可建立S和t的關系式．
（3）若△OMQ為等腰三角形，則OM=MQ，OM=OQ或MQ=OQ，對每種情況進行解答，關鍵是將各邊的表達式代入即可．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=1，OA=

3

，
∴tan∠AOB=

AB

OA

=

1

3

=

3

3

，即∠AOB=30°，
∵△OCB≌△OAB，
∴∠COB=∠AOB=30°，
∴∠AOC=60°；

（2）∵OP=CQ=t，AB=1，OC=OA=

3

，
∴AP=OQ=

3

-t，
∴S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，
=OA×AB-

1

2

OP×OQ×sin∠AOC-

1

2

PA×AB，
=

3

×1-

1

2

×t×(

3

-t)×

3

2

-

1

2

×(

3

-t)×1，
=

3

4

t2-

1

4

t+

3

2

；

（3）①若△OMQ為等腰三角形，則：
（i）如圖①所示，若OM=MQ，∠MQO=∠QOM=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=90°，
∴

OP

OQ

=

1

2

，即

t

3 -t

=

1

2

，
解得：t=

3

3

．
（ii）如圖②所示，若OM=OQ，∠OMQ=∠OQM=75°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=45°，
過點Q作QE⊥OA，垂足為E，則有：
EQ=EP，即

3

2

(

3

-t)=t-

1

2

(

3

-t)，
解得：t=1．
（iii）若MQ=OQ，∠OMQ=∠QOM=∠POM，則PQ∥OA，顯然不滿足題意．
②線段OM長的最大值為

3

4

．

點評：此題主要考查了二次函數的最值、翻折變換、解直角三角形、等腰三角形的性質等內容，綜合性很強，同時要注意分類討論思想的應用．