Question

為了進一步變化城市．某城市計劃改建人民廣場中心．一塊邊長為8米的正方形花圃，如圖，AE=AF，點G、H、I分別是EE、CE、CF的中點，計劃在△GHI內放置“奮進”大型塑像，在陰影部分種植荷花，其余部分種植茉莉．原來種植1平方米荷花和1平方米茉莉的總成本為200元，受季節和氣候的影響，經核算荷花的種植成本提高了2成，茉莉的種植成本降低了1成，使每平方米荷花和每平方米茉莉的種植總成本提高了8%．
（1）試求出實際1平方米荷花和1平方米茉莉種植成本分別是多少元？
（2）若此花圃實際種植總成本為7956元，請求出AE的長度．

Answer 1

解：（1）設1平方米荷花種植成本為x元，1平方米茉莉種植成本為y元．列方程組得

則解得：
∴（1+20%）x=144，（1-10%）y=72
∴1平方米荷花種植成本為144元，
1平方米茉莉種植成本為72元．

（2）設AE=AF=x米，則荷花的種植面積為：[x2+×8（8-x）×2]平方米．
∵點G、H、I分別是EF、CE、CF的中點．
∴HI、GH、GI均為△CEF的中位線
易證△GHI∽△CEF，且相似比為1：2
∴茉莉的種植面積為：[82-x2-×8（8-x）×2]×平方米．
可得方程：[x2+×8（8-x）×2]×144+[82-x2-×8（8-x）×2]××72=7956
整理得：x²-16x+28=0解得：x₁=2，x₂=14（不合題意舍去）
∴AE的長度為2米．
分析：（1）設1平方米荷花種植成本為x元，1平方米茉莉種植成本為y元，根據題意列出方程組即可求得荷花種植成本和茉莉種植成本；
（2）設AE=AF=x米，則荷花的種植面積表示為：[x2+×8（8-x）×2]平方米，再根據點G、H、I分別是EF、CE、CF的中點得到HI、GH、GI均為△CEF的中位線，然后表示出茉莉的種植面積，根據種植成本為7956元列出方程求得x的值即可求得AE的長．
點評：本題考查了一元二次方程的應用及二元一次方程組的應用，同時還涉及到了相似三角形的判定與性質，在解決幾何知識時用到了方程思想．