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如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,設CD的長為x,四邊形ABCD的面積為y,則y與x之間的函數關系式是( )

A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【答案】分析:四邊形ABCD圖形不規則,根據已知條件,將△ABC繞A點逆時針旋轉90°到△ADE的位置,求四邊形ABCD的面積問題轉化為求梯形ACDE的面積問題;根據全等三角形線段之間的關系,結合勾股定理,把梯形上底DE,下底AC,高DF分別用含x的式子表示,可表示四邊形ABCD的面積.
解答:解:作AE⊥AC,DE⊥AE,兩線交于E點,作DF⊥AC垂足為F點,
∵∠BAD=∠CAE=90°,即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD,∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE(AAS)
∴BC=DE,AC=AE,
設BC=a,則DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,
CF=AC-AF=AC-DE=3a,
在Rt△CDF中,由勾股定理得,
CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2
解得:a=
∴y=S四邊形ABCD=S梯形ACDE=×(DE+AC)×DF
=×(a+4a)×4a
=10a2
=x2
故選C.
點評:本題運用了旋轉法,將求不規則四邊形面積問題轉化為求梯形的面積,充分運用了全等三角形,勾股定理在解題中的作用.
練習冊系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設AC=2a,BD=2b,請推導這個四邊形的性質.(至少3條)
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(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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同步練習冊答案
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