Question

（2003•北京）已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（1）求證：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AF=DF，可以證明△AEF≌△DEF得出；
（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出；
（3）根據△ABC的面積公式求出BC，AN的長是關鍵，根據題意由三角函數及相似比即可求出．
解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圓C的直徑
∴∠DFE=90°
∴AF=DF（2分）

（2）解：連接DM
∵DE是半圓C的直徑
∴∠DME=90°
∵FE：FD=4：3
∴可設FE=4x，則FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=x
∴ME=AE-AM=5x-x=x
在Rt△DME中，cos∠AED=（5分）

（3）解：過A點作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
∴sin∠AED=
∴AN=AE=x
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
∴AE²=BE•CE
∴（5x）²=（10+5x）•x
∴x=2
∴AN=x=
∴BC=BD+DC=10+×2=15
∴S_△ABC=BC•AN=×15×=72（8分）．
點評：本題考查相似三角形的判定，切割線定理，勾股定理，圓周角定理等知識點的綜合運用．