Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙C與x軸相切于D點，與y軸相交于A（0，2）、B（0，8）兩點，圓心C在第一象限．
（1）求直徑BC所在直線的解析式；
（2）連接BC并延長交⊙C于點E，若線段BE上有一點P，使得AB²=BP?BE，能否推出AP⊥BE？請你給出你的判斷，并說明理由；
（3）在⊙C上是否存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，根據圓心的性質，可得C的AB的中垂線上，易得C的縱坐標為5；進而可得圓的半徑為5；利用勾股定理可得其橫坐標為4；即可得C的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C的坐標代入得到關于k與b的方程組，求出方程的解得到k與b的值，即可確定出直線BC的解析式；
（2）能得到AP⊥BE，理由為：連接AE，由BE為圓C的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠BAE為直角，將AB²=BP?BE化為比例式，再加上一對公共角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，得到三角形ABP與三角形EBA相似，由相似三角形的對應角相等，得到∠BPA與∠BAE相等，都為直角，即可得到AP⊥BE；
（3）在圓C上不存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形，理由為：假設在圓C上存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形，作出線段PE的垂直平分線，垂足為M，交圓O于點Q，連接CQ，由AB²=BP?BE，將AB與BE的長代入求出BP的長，由BE-BP求出PE的長，進而確定出ME的長，由CE-ME求出CM的長，在直角三角形CQM中，利用勾股定理求出QM的長，同時在等邊三角形QCE中，由QM垂直于PE，得到M為PE的中點，得到PM的長，在直角三角形QPM中，利用勾股定理求出QM的長，兩次求出MQ的長不相等，故假設錯誤，則在圓C上不存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形．

解答：解：（1）連接CD，過C作CN⊥y軸，交y軸于點N，
由A（0，2），B（0，8），得到N（0，5），即ON=CD=5；AN=BN=3，
∴圓C的半徑BC=5，即C的縱坐標為5，
在Rt△BCN中，根據勾股定理得：CN=

BC2-BN2

=4，
∴C（4，5），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
將B與C的坐標代入得：

b=8 4k+b=5

，
解得：

k=- 3 4 b=8

，
則直線BC的解析式為y=-

3

4

x+8；

（2）若線段BE上有一點P，使得AB²=BP•BE，能推出AP⊥BE，理由為：
連接AE，
∵BE為圓C的直徑，
∴∠BAE=90°，
∵AB²=BP•BE，即

AB

BP

=

BE

AB

，且∠BAE=∠PBA，
∴△PBA∽△ABE，
∴∠BPA=∠BAE=90°，
∴AP⊥BE；

（3）在圓C上不存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形，理由為：
假設在圓C上存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形，
作出線段PE的垂直平分線，垂足為M，交圓O于點Q，連接CQ，
可得PM=ME，QM⊥PE，
∵AB²=BP•BE，AB=6，BE=10，
∴BP=3.6，
∴PE=BE-BP=10-3.6=6.4，
∴PM=EM=3.2，
∴CM=CE-ME=5-3.2=1.8，
在Rt△CMQ中，根據勾股定理得：QM=

CQ2-CM2

=

52-1．82

≈4.66，
而在Rt△PQM中，根據勾股定理得：QM=

PQ2-PM2

=

6．42-3．22

≈5.54，
矛盾，故假設錯誤，
則在圓C上不存在點Q，使得△PEQ為等邊三角形．

點評：此題考查了圓綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，等邊三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，切線的性質，以及待定系數法確定一次函數解析式，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．