Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC=AB，連接AC交⊙O于D，DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：AD=DC；
（2）求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得證；（2）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．運用三角形的中位線定理可得OD∥BC，又DE⊥BC，所以可得OD⊥DE．
解答：證明：（1）連接BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵BC=AB，
∴△ABC是等腰三角形．
∴BD為等腰三角形△ABC底邊的高，
∴AD=DC．

（2）連接OD．
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
又∵BA=BC，
∴∠A=∠C．
∴∠C=∠ADO．
又∵DE⊥CE，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°．
又∵D在圓上，
∴DE是切線．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)和切線的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．