Question

如圖：二次函數y=-x²+ax+b的圖象與x軸交于A（-

1

2

，0），B（2，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）在x軸上方的拋物線上有一點D，且A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；
（3）在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中即可確定拋物線的解析式；進而可得到C點坐標，進而可求出AC、BC、AB的長，然后再判斷△ABC的形狀；
（2）根據拋物線和等腰梯形的對稱性知，點C關于拋物線對稱軸的對稱點符合點D的要求，由此可求出點D的坐標；
（3）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進而可確定直線AP的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點P的坐標．
②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

解答：解：（1）由題意得：

- 1 4 - a 2 +b=0 -4+2a+b=0

，
解得

a= 3 2 b=1

；
∴拋物線的解析式為y=-x²+

3

2

x+1；
∴C（0，1）；
∴AC²=

1

4

+1=

5

4

，BC²=1+4=5，AB²=（2+

1

2

）²=

25

4

；
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）由（1）的拋物線知：其對稱軸方程為x=

3

4

；
根據拋物線和等腰梯形的對稱性知：點D（

3

2

，1）；

（3）存在，點P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以BC、AP為底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+1；
設過點A且平行于BC的直線的解析式為y=-

1

2

x+h，
則有：（-

1

2

）×（-

1

2

）+h=0，h=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

；
聯立拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，
解得

x=- 1 2 y=0

，

x= 5 2 y=- 3 2

；
∴點P（

5

2

，-

3

2

）；
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以AC、BP為底，
同理可求得P（-

5

2

，-9）；
故當P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）時，以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形．
（根據拋物線的對稱性求出另一個P點坐標亦可）

點評：此題是二次函數的綜合類試題，考查了二次函數解析式的確定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，難度適中．