Question

如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長12米，下底長18米，高8米．
（1）求梯形的中位線的長；
（2）在梯形兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各條通道的寬度均為x米．
①若通道的總面積等于42平方米，求通道的寬；
②按要求通道的寬不能超過1米，且修建三條通道應付的工資合計為25

3

x元．花壇其余部分應付的工資為每平方米

3

元，當通道的寬度為多少米時，所建花壇應付的總工資最少？最少工資是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據梯形的中位線的長=（上底+下底）÷2進行計算；
（2）①兩條縱向通道的面積=2×8x，橫向通道的面積=中位線×高，通道的總面積等于兩條縱向通道的面積+橫向通道的面積-2x²；根據題意列出方程，求出x即為通道的寬；
②根據題意列出一個二次函數的解析式，求得函數的最小值，即為最少費用．

解答：解：（1）梯形的中位線的長為（上底+下底）÷2=15米；（3分）

（2）①依題意：16x+15x-2x²=42（6分）
解得x₁=1.5x₂=14（舍去）（8分）
∴通道的寬為1.5米．
②設修建花壇應付的總工資為y元．
y=

3

(2x2-31x+120)+25

3

x（10分）=2

3

(x-1.5)2+115.5

3

（11分）
拋物線的開口向上，對稱軸x=1.5
0＜x≤1，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小
∴當x=1時，總費用最少．最少費用為116

3

元（13分）

點評：本題考查的知識比較全面，需要用到梯形中位線定理以及梯形面積的求法，還考查學生是否能夠運用梯形的中位線定理把實際問題進行轉換求解．此題的難度較大，是中考壓軸題．