Question

小明打算用如圖的矩形紙片ABCD折出一個等邊三角形．他的操作步驟是：
①先把矩形紙片對折后展開，并設折痕為MN；
②把B點疊在折痕線上，得到Rt△AB₁E；
③將Rt△A B1E沿著AB₁線折疊，得到△EAF．小明認為，所得的△EAF即為等邊三角形．
試問，小明的結論是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請你給出一種將矩形紙片ABCD折為一個等邊三角形的方法．

Answer 1

解：小明的結論正確，該三角形是等邊三角形．理由如下：
∵AD∥MN∥BC，AM=BM，
∴B₁E=B₁F，
又∠AB₁E=∠B=90°，
∴AE=AF，
∴∠B₁AE=∠B₁AF．
根據折疊得∠BAE=∠B₁AE，
∴∠BAE=∠B₁AE=∠B₁AF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△EAF即為等邊三角形．
分析：首先根據平行線等分線段定理得到B₁E=B₁F，再結合AB₁⊥EF得到AE=AF．只需再進一步得到有一個角是60度即可．根據折疊知∠BAE=∠B₁AE，根據等腰三角形的三線合一得到∠B₁AE=∠B₁AF，從而得到∠EAF=60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可證明．
點評：綜合考查等邊三角形的判定方法，平行線等分線段定理、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知識點．