Question

（2003•無錫）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為直徑的半圓O₁和以O₁C為直徑的⊙O₂交于點F，連CF并延長交AD于點H，FE⊥AB于點E，BG⊥CH于點G．
（1）求證：BC=AE+BG；
（2）連AF，當正方形ABCD的邊長為6時，求四邊形ABGF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連O₁F、BF，利用全等三角形的判定方法可得到，△BGF≌△BEF，再根據全等三角形的性質得到BG=BE從而可得到所求的結論．
（2）連O₁H，根據正方形的性質及平行線的性質求得AE等線段的值，再根據三角形的面積公式即可求得四邊形ABGF的面積．
解答：（1）證明：連O₁F、BF
∵O₁C為⊙O₂的直徑
∴O₁F⊥CH
∴CF為⊙O₁的切線（1分）
∵∠ABC=90°
∴BC為⊙O₁的切線
∴CB=CF
∴∠BFC=∠FBC
∵EF⊥AB
∴EF∥BC
∴∠EFB=∠FBC=∠BFC（2分）
又∵∠BGF=∠BEF=90°，BF=BF
∴△BGF≌△BEF
∴BG=BE
∴BG+AE=BE+AE=AB
∵正方形ABCD
∴BC=AB=BG+AE（3分）

（2）解：∵正方形ABCD的邊長為6
∴BC=6，AO₁=BO₁=3
又∵BC、CF為⊙O₁的切線
∴BC=CF，∠BCO₁=∠FCO₁∴CO₁⊥BF，
∵∠O₁BC=90°
∴∠O₁BF=∠O₁CB（4分）
∵∠O₁BC=∠AFB=90°
∴△O₁BC∽△AFB（5分）
∴
∵在Rt△AFB中，AB=6
∴AF=，BF=（6分）
在Rt△AFB中，EF⊥AB
∴AE=（7分）
∴BE=
∴EF=（8分）
∴S_△AEF=，S_△BEF=S_△BFG=
∴S_{四邊形AFGB}=（10分）．
點評：此題主要考查了圓的切線長定理，充分利用切線構造全等條件證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和正方形的性質解決問題．