Question

在△ABC中，P是BA延長線上一點，AE是∠CAP的平分線，CE⊥AE于E，BD⊥EA延長線于D．
（1）若四邊形BCED是正方形（如圖①），AB、AC分別于CD、BE相交于點M、N，求證：△ADM≌△AEN．
（2）如圖②，若AD=kAE，BE、CD相交于F．試探究EF、BF之間的數量關系，并說明理由．（用含k的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據對頂角相等得出∠DAB=∠PAE，再由AE平分∠PAC，∠DAB=∠EAC，根據四邊形BCED是正方形，可知BD=CE，∠BDA=∠CEA=90°，由ASA定理得出△DAB≌△EAC（ASA），故可得出AD=AE，再由BE、CD是正方形BCDE的對角線可知∠MDA=∠NEA，由此即可得出結論；
（2）由（1）得∠DAB=∠EAC，再由相似三角形的判定定理得出△ABD∽△ACE，由AD=kAE可知==k，根據BD∥CE，可得出∠FDB=∠FCE，∠FBD=∠FEC，故△DFB∽△CFE，根據相似三角形的性質可知==k，由此即可得出結論．
解答：（1）證明：∵∠DAB=∠PAE，AE平分∠PAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵四邊形BCED是正方形，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△DAB與△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（ASA），
∴AD=AE，
∵BE、CD是正方形BCDE的對角線，
∴∠MDA=∠NEA，
在△ADM與△AEN中，
，
∴△ADM≌△AEN（SAS）；

（2）猜想：BF=kEF（或EF=BF）．
證明：由（1）得∠DAB=∠EAC，
∵∠BDA=∠CEA=90°，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=kAE，
∴==k，
∵BD∥CE，
∴∠FDB=∠FCE，∠FBD=∠FEC，
∴△DFB∽△CFE，
∴==k，
∴EF=kEF（或EF=BF）．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到全等三角形及相似三角形的判定與性質，難度適中．