Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MOA的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出當m為何值時，S有最大值，這個最大值是多少？
（3）若點Q是直線y=-x上的動點，過Q做y軸的平行線交拋物線于點P，判斷有幾個Q能使以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形的點，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，然后把點A、B、C的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）利用拋物線的解析式表示出點M的縱坐標，從而得到點M到x軸的距離，然后根據三角形面積公式表示并整理即可得解，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解；
（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解．
解答：解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²+x-4；

（2）∵點M的橫坐標為m，
∴點M的縱坐標為m²+m-4，
又∵A（-4，0），
∴AO=0-（-4）=4，
∴S=×4×|m²+m-4|=-（m²+2m-8）=-m²-2m+8，
∵S=-（m²+2m-8）=-（m+1）²+9，點M為第三象限內拋物線上一動點，
∴當m=-1時，S有最大值，最大值為S=9；
故答案為：S關于m的函數關系式為S=-m²-2m+8，當m=-1時，S有最大值9；

（3）∵點Q是直線y=-x上的動點，
∴設點Q的坐標為（a，-a），
∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，
∴點P的坐標為（a，a²+a-4），
∴PQ=-a-（a²+a-4）=-a²-2a+4，
又∵OB=0-（-4）=4，
以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴|PQ|=OB，
即|-a²-2a+4|=4，
①-a²-2a+4=4時，整理得，a²+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=-4，
-a=4，
所以點Q坐標為（-4，4），
②-a²-2a+4=-4時，整理得，a²+4a-16=0，
解得a=-2±2，
所以點Q的坐標為（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2），
綜上所述，Q坐標為（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，有待定系數法求二次函數解析式，三角形的面積，二次函數的最值問題，平行四邊形的對邊相等的性質，平面直角坐標系中兩點間的距離的表示，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．