Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，B為切點，OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E．
（1）求證：∠OPB=∠AEC；
（2）若點C為半圓的三等分點，請你判斷四邊形AOEC為哪種特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．
又∵∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．
（2）解：四邊形AOEC是菱形．
∵OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，∴=．
∵C為半圓ACB¯的三等分點，∴==．
∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC．
又　OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴AC∥OE．∴四邊形AOEC是平行四邊形．
又　OA=OE，∴四邊形AOEC是菱形．

解析