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(2007•上海模擬)已知:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是邊AB上一動點,PE⊥CD,垂足為點E,PM⊥AB,交邊CD于點M,AD=1,AB=5,CD=4.
(1)求證:∠PME=∠B;
(2)設A、P兩點的距離為x,EM=y,求y關于x的函數解析式,并寫出它的定義域;
(3)連接PD,當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,求AP的長.
分析:(1)在四邊形BCMP中,求出∠B+∠CMP=180°,又知∠PME+∠CMP=180°,于是證明出∠PME=∠B;
(2)作AH⊥BC于H,交PE于點F,首先證明出AF⊥PE,由于PF∥BH,列出比例等式,用x表示出PF和PE,再由△PEM∽△AHB列出y與x的關系式;
(3)分類討論,當PM=PD和PM=DM分別根據等腰三角形的性質求出x的值,進而求出AP的值.
解答:(1)證明:證法一:在四邊形BCMP中,
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°,∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°. 
而∠PME+∠CMP=180°,
∴∠PME=∠B. 
證法二:∵DC⊥BC,PM⊥AB,且∠PME與∠B都為銳角,
∴∠PME=∠B.
(2)解:作AH⊥BC于H,交PE于點F.
∵PE⊥CD,BC⊥CD,
∴PE∥BC.
∴AF⊥PE.
∵AH=CD=4,AB=5,
∴BH=3.
∵AD=1,
∴EF=1.
∵PF∥BH,
PF
AP
=
BH
AB

∴PF=
3
5
x,
∴PE=
3
5
x+1.
又∵∠PME=∠B,∠PEM=∠AHB=90°,
∴△PEM∽△AHB. 
EM
PE
=
BH
AH
,即
y
3
5
x+1
=
3
4
.  
y=
9
20
x+
3
4

∵PE=
3
5
x+1≤BC=4,
∴x≤
13
5

定義域為0≤x≤
13
5
.  
(3)解:(ⅰ)當PM=PD時,DE=EM.
4
5
x=
9
20
x+
3
4

解得x=
15
7
,即AP=
15
7
.  
(ⅱ)當PM=DM時,
5
4
(
3
5
x+1)=
4
5
x+
9
20
x+
3
4
. 
解得x=1,即AP=1. 
綜上所述,當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,AP=
15
7
或AP=1.
點評:本題主要考查相似形的綜合題,本題涉及了線段成比例的性質,相似三角形的判定與性質,等腰三角形的判定的知識,此題綜合性較強,難度較大.
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6
,BC=3
5
,BE=5.求DE的長.

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