Question

如圖，在某氣象站M附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于氣象站M的東偏南θ方向100千米的海面P處，并以20千米/小時的速度向西偏北45°方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為20千米，并以10千米/小時的速度不斷增大，已知cosθ=，問：
（1）臺風中心幾小時移到氣象站M正南N處，此時氣象站M是否受臺風侵襲？
（2）幾小時后該氣象站開始受臺風的侵襲？

Answer 1

【答案】分析：（1）延長MN交PQ于點A，用三角函數的定義可求出AM的長，由于∠APN=45°，故AN=AP=10．MN=70-10=60，PN=10=20．根據路程，速度，時間的關系即可求解．
（2）設經t小時后該氣象站開始受臺風侵襲，且此時臺風中心為B處，連接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分別為Q，D，則PB=20t，BM=20+10t．用三角函數的定義用含t的代數式分別表示BD、MD，再在直角三角形BDM中運用勾股定理即可求出t的值．
解答：解：（1）延長MN交PQ于點A．
在Rt△MPA中，∵∠MPA=θ，MP=100，
∴AP=MP•cosθ=100×=10，
AM===70．
∵∠APN=45°，∠NAP=90°，
∴∠APN=∠ANP=45°，
∴AN=AP=10．
∴MN=AM-AN=70-10=60．
PN=AN=10=20．
∴t=20÷20=1．
臺風半徑r=20+10×1=30＜60．
答：臺風中心1小時移動到氣象站M正南N處，此時氣象站M不受臺風侵襲．

（2）設經t小時后該氣象站開始受臺風侵襲，且此時臺風中心為B處．
連接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分別為Q，D．
由題意知，PB=20t，BM=20+10t．
PQ=BQ=PB•sin45°=10t．
∴BD=QP-AP=10t-10，MD=AM-BQ=70-10t．
由BD²+DM²=BM²，得（10t-10）²+（70-10t）²=（20+10t）²．
整理，得t²-12t+32=0，
解得t₁=4，t₂=8（不合題意，舍去）．
答：4小時后該氣象站開始受臺風侵襲．
點評：本題是一道生活聯系實際的題目，在解答此類題目時要注意構造出直角三角形，把一般三角形的計算轉化為解直角三角形，利用解直角三角形的知識解答．