Question

某公司經銷一種商品，每件商品的成本為50元，經市場的調查，在一段時間內，銷售量w （件）隨銷售單價x（元/件）的變化而變化，具體關系式為w=-2x+240，設這種商品在這段時間內的銷售利潤為y（元），解答如下問題：
（1）求y與x的關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大？
（3）如果物價部門規定這種商品的銷售單價不得高于80元/件，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

解：（1）由題意得，銷售一件的利潤為（x-50），銷售量為-2x+240，
故可得y=w（x-50）=（-2x+240）（x-50）=-2x²+340x-12000．
（2）由（1）得：y=-2x²+340x-12000=-2（x-85）²+2450，
當x=85時，y有最大值2450．
（3）由題意得：-2（x-85）²+2450=2250，
化簡得：（x-85）²=100，
解得x=75或x=95，
∵銷售單價不得高于80元/件，
∴銷售單價應定為75元．
答：公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為75元．
分析：（1）由題意得銷售一件的利潤為（x-50），再由銷售總利潤=銷售量×銷售一件的利潤可得出y與x的關系式；
（2）利用配方法求二次函數的最值即可．
（3）根據（1）所得的關系式，可得出方程，解出即可得出答案．
點評：此題考查了二次函數的應用及一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是得出y與x的函數關系式，另外要求我們熟練掌握配方法求二次函數最值．