Question

如圖，已知AB是⊙O的一條固定的弦，C是弦AB上的一動點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）若OB=2，∠B=28°，求弦AB的長（精確到0.01）；
（2）當∠B=30°，且∠D=20°時，求∠BOD的度數；
（3）若∠B=α度（0°＜α＜45°），且△ACD為等腰三角形，求它的底角的度數（用含α的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）首先過點O作OM⊥AB，則AM=BM，在Rt△OBM中，利用cosB=

BM

OB

，即可求出BM的長，進而求出AB即可；
（2）首先得出OA=OB=OD，利用∠B=30°，∠D=20°，得出∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，求出∠DAB=50°，即可利用圓周角定理得出∠DOB度數；
（3）利用等腰三角形的性質利用當DA=DC時，當CA=CD時，當AC=AD時求出底角的度數即可．

解答：解：（1）如圖1，過點O作OM⊥AB，則AM=BM，
在Rt△OBM中，
∵cosB=

BM

OB

，
∴BM=OB•cosB=2×cos28°≈1.766，
故AB=2×1.766≈3.53；

（2）如圖1，連接AO，
∵OA、OB、OD是⊙O的半徑，
∴OA=OB=OD，
∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，
∴∠DAB=50°，
∴∠DOB=100°；

（3）如備用圖1，設∠D=x°，連接OA，
∵OD=OA=OB，
∴∠DAO=∠ADO=x，∠CAO=∠ABO=α，
若DA=DC，則x+2（x+α）=180，
故x=

180-2α

3

，
則底角∠DAC=x+α=

180-2α

3

+α=60+

1

3

α，
若CA=CD，顯然∠CAD＞x，此種情況不存在，
若AC=AD，則2x+x+α=180，
故x=

180-α

3

，
則底角∠D=x=60-

1

3

α．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及圓周角定理和等腰三角形的性質等知識，注意分類討論思想的應用得出符號要求的答案，不要漏解．