Question

如圖，在□ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四邊形AECF的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析; （2）24.

【解析】

試題分析：（1）先根據垂直平分線的性質得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再結合平行線的性質得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四條邊相等的四邊形是菱形即可證明;

（2）根據平行四邊形的判定和性質, 勾股定理求出菱形AECF的兩對角線長,即可根據菱形的面積公式求得.

試題解析：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC. ∴∠1=∠4=∠3. ∴AF=AE.

∴AE=EC=CF=FA.∴四邊形AECF是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，AC⊥CD，∴EF∥CD.

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC. ∴四邊形ECDF是平行四邊形.

又∵AB=6，∴EF=CD= AB=6.

在Rt△ACD中, ∵CD=6,AD= BC=10，∴根據勾股定理,得AC=8.

∴四邊形AECF的面積=×AC×EF=24.

考點：1.平行四邊形的性質；2.菱形的判定；3.等腰三角形的判定與性質；4. 勾股定理；5. 菱形的面積．