Question

已知關于x的方程x+

2

x

=3+

2

3

的兩個解是x1=3，x2=

2

3

；
又已知關于x的方程x+

2

x

=4+

2

4

的兩個解是x1=4，x2=

2

4

；
又已知關于x的方程x+

2

x

=5+

2

5

的兩個解是x1=5，x2=

2

5

；
…，
小王認真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
關于x的方程x+

2

x

=c+

2

c

的兩個解是x1=c，x2=

2

c

；并且小王在老師的幫助下完成了嚴謹的證明（證明過程略）．小王非常高興，他向同學提出如下的問題．
（1）關于x的方程x+

2

x

=11+

2

11

的兩個解是x₁=

 

和x₂=

 

；
（2）已知關于x的方程x+

2

x-1

=12+

2

11

，則x的兩個解是多少？

Answer 1

分析：（1）根據上述的結論方程x+

2

x

=c+

2

c

的兩個解是x1=c，x2=

2

c

，即可猜想得到答案；
（2）可以把x-1看作一個整體，即方程兩邊同時減去1，得x-1+

2

x-1

=11+

2

11

，然后根據猜想得到x-1=11，x-1=

2

11

，進一步求得方程的解．

解答：解：（1）根據猜想的結論，則x₁=11，x₂=

2

11

；

（2）原方程可以變形為x-1+

2

x-1

=11+

2

11

，
則x-1=11，x-1=

2

11

．
則x₁=12，x₂=

13

11

．

點評：此題要能夠根據探索得到的結論進行分析求解，能夠運用換元法進行求解，有一定難度．