Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上．
（1）求∠AED的度數；
（2）求證：AB=BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線的性質、等邊三角形的性質以及直角三角形的兩個銳角互余進行求解
（2）連接AC，根據等腰直角三角形的判定方法進行證明．
解答：解：（1）∵∠BCD=75°，AD‖BC，
∴∠ADC=105°．
又∵等邊△DCE中，∠CDE=60°，
∴∠ADE=45°．
∵AB⊥BC，AD‖BC，
∴∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）∵直角△AED中，∠AED=45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，故點A在線段DE的垂直平分線上．
∵△DCE是等邊三角形得CD=CE，
∴點C也在線段DE的垂直平分線上．
∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE．
連接AC，
∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又AB⊥BC，
∴BA=BC．
點評：本題考查了直角梯形的性質，以及等邊三角形的性質，正確證明AC就是線段DE的垂直平分線是關鍵．