Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD∥BC，由平行線的性質，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，繼而求得菱形AECD的面積．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．
證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．
∴ABED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴平行四邊形AECD是菱形．
過A作AG⊥BE于點G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=，
∴S_菱形AECD=EC•AG=2×=2．
點評：此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質以及菱形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用．