Question

3．如圖，已知△ABC中，點D在邊BC上，∠DAB=∠B，點E在邊AC上，滿足AE•CD=AD•CE．
（1）求證：DE∥AB；
（2）如果點F是DE延長線上一點，且BD是DF和AB的比例中項，聯結AF．求證：DF=AF．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，根據等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代換即可得到結論；
（2）由BD是DF和AB的比例中項，得到BD²=DF•AB，等量代換得到AD²=DF•AB，推出$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，根據相似三角形的性質得到$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，于是得到結論．

解答 證明：（1）∵AE•CD=AD•CE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴DE∥AB；
（2）∵BD是DF和AB的比例中項，
∴BD²=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD²=DF•AB，
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，
∴DF=AF．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．