Question

如圖，已知反比例函數的圖象與一次函數y=k₂x+b的圖象交于A，B兩點，A（1，n），B（-，-2）．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B（-，-2）坐標代入反比例函數，求出反比例函數解析式．再求出A（1，n）的坐標，根據A、B的坐標，即可求得一次函數的解析式；
（2）以O為圓心，OA為半徑，交x軸于兩點，這兩點均符合點P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交x軸于一點，作AO的垂直平分線，交x軸于一點，因此共有4個符合要求的點．
解答：解：（1）∵點B（-，-2）在反比例函數圖象上，
∴
∴k₁=2
∴反比例函數的解析式為，（2分）
又∵A（1，n）在反比例函數圖象上，
∴，
∴n=1；
∴A點坐標為（1，1）；
∴一次函數y=k₂x+b的圖象經過點A（1，1），B（-，-2）；
∴，∴；
∴一次函數的解析式為y=2x-1；（4分）

（2）存在符合條件的點P．（5分）
若OA=OP，則P（，0）或（-，0），
若AP=OA，則P（2，0），
若OP=AP，則（1，0），
可求出點P的坐標為（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．（7分）
點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．要注意（2）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．