Question

(8分)如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交

半圓于點D，點E是的中點，連接AE、OD，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．

(1)求∠AOD的度數；

(2)求證：PD是半圓O的切線．

 

Answer 1

（1）解：∵點C時OA的中點，∴OC=OA=OD

∵CD⊥OA，∴∠OCD=90°。

在Rt△OCD中，cos∠COD=

∴∠COD=60°，即∠AOD=60°。

（2）證明：連結OE，∵點E是的中點，

∴，

∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180°-∠COD）=（180°-60°）=60°。

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°

∴∠EAO=30°，

∴PD∥AE，

∴∠P=∠EAO=30°。

由（1）知∠AOD=60°，∴∠PDO=180°-（∠P+∠POD）=180°-（30°+60°）=90°，

∴PD是半圓O的切線。

解析:略