Question

近年來，我國煤礦安全事故頻頻發生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次礦難事件的調查中發現：從零時起，井內空氣中CO的濃度達到4mg/L，此后濃度呈直線型增加，在第7小時達到最高值46mg/L，發生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降．如圖所示，根據題中相關信息回答下列問題：
（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時間x的函數關系式，并寫出相應的自變量取值范圍；
（2）當空氣中的CO濃度達到34mg/L時，井下3km的礦工接到自動報警信號，這時他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？
（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時，才能回到礦井開展生產自救，求礦工至少在爆炸后多少小時才能下井？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象可以得到函數關系式，y=k₁x+b（k₁≠0），再由圖象所經過點的坐標（0，4），（7，46）求出k₁與b的值，然后得出函數式y=6x+4，從而求出自變量x的取值范圍．再由圖象知（k₂≠0）過點（7，46），求出k₂的值，再由函數式求出自變量x的取值范圍．
（2）結合以上關系式，當y=34時，由y=6x+4得x=5，從而求出撤離的最長時間，再由v=速度．
（3）由關系式y=知，y=4時，x=80.5，礦工至少在爆炸后80.5-7=73.5（小時）才能下井．
解答：解：（1）因為爆炸前濃度呈直線型增加，
所以可設y與x的函數關系式為y=k₁x+b（k₁≠0），
由圖象知y=k₁x+b過點（0，4）與（7，46），
則，
解得，
則y=6x+4，此時自變量x的取值范圍是0≤x≤7．
（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函數中）
∵爆炸后濃度成反比例下降，
∴可設y與x的函數關系式為（k₂≠0）．
由圖象知過點（7，46），
∴，
∴k₂=322，
∴，此時自變量x的取值范圍是x＞7．

（2）當y=34時，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．
∴撤離的最長時間為7-5=2（小時）．
∴撤離的最小速度為3÷2=1.5（km/h）．

（3）當y=4時，由y=得，x=80.5，
80.5-7=73.5（小時）．
∴礦工至少在爆炸后73.5小時才能下井．
點評：現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．