Question

　　(重慶市2003年中考試題)已知拋物線y=-x²+(m-4)x+2m+4與x軸交于A(x₁，0)、B(x₂，0)兩點，與y軸交于點c，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若點A關于y軸的對稱點是點D．

　　(1)求過點C、B、D的拋物線的解析式；

　　(2)若P是(1)中所求拋物線的頂點，H是這條拋物線上異于點C的另一點，且△HBD與△CBD的面積相等，求直線PH的解析式．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：根據根與系數的關系可求A、B兩點的坐標，進而得C、D兩點，從而可求出拋物線的解析式；由同底等高三角形面積相等可得H點坐標，得到直線的解析式． 　　　　　　　　　　　　 ① 解：⑴由題意得　　　　　　　　　　　　② 　　　　　　　　　　　③ 　　 ④ 　　由①、②得把上式代入③并整理，得 　　∴　∵　 　　∴　∴　m＜4.∴　(舍去)． 　　∴　點C的縱坐標為2m+4=8.得A、B、C坐標為A(-4，0)、B(2，0)、C(0，8)．∵　點A與點D關于v軸對稱，∴　D(4，0) ． 　　設經過C、B、D三點的拋物線的解析式為 　　將C(0，8)代入上式得8=a(0-2)(0-4).∴　a=1． 　　∴　所求拋物線的解析式為 　　⑵∵　∴　頂點P(3，-1x )． 　　設點H的坐標為，∵　△BCD與△HBD的面積相等，∴　 　　∵　點H只能在x軸的上方，故 　　將代入中，得或(舍去)． 　　∴　H(6，8)，設直線PH的解析式為y=kx+B，則 　　∴　k=3= 　　點評：求二次函數的解析式是本章的重點，也是一個難點．已知拋物線上的三點，求拋物線的解析式，只要把三點的坐標分別代入一般式y=ax2+Bx+c，聯立成三元一次方程組解出a、B、c的值，即可求出拋物線的解析式．在求二次函數解析式時，常常由于所給出的條件不同，為了使運算簡便，對于二次函數相應地采取不同的形式來表達．一般有以下四種形式：若已知二次函數圖象上任意三點的坐標，求二次函數的表達式時，用y=ax2+Bx+c(a≠0)的形式表述較為簡便；若已知二次函數圖象的頂點坐標(或對稱軸，或最大、最小值)時，用y=a(x-h)2+k的形式較為簡便；若已知二次函數的圖象與x軸的兩個交點坐標為(x1，0)和(x2，0)，求二次函數的解析式時，用y=a(x-x1)(x-x2)的形式較為簡便；若已知拋物線上的兩點的坐標為(x1，M) sy、(x2，M)，求二次函數的解析式時，用y=a(x-x1)(x-x2)+M的形式較為簡便．