Question

已知：如圖所示，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P在該拋物線上滑動，且滿足條件S_△PAB=1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標；
（3）設拋物線交y軸于點C，問該拋物線對稱軸上是否存在點M，使得△MAC的周長最��？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線y=-x²+bx+c中，列方程組可求拋物線解析式；
（2）由于AB=3-1=2，而S_△PAB=1，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點縱坐標為±1，代入拋物線解析式可求P點橫坐標；
（3）過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C'，根據拋物線的對稱性求得C′（4，-3），連接直線AC′，求直線AC′的解析式，直線AC′與對稱軸的交點即為所求點M．
解答：解：（1）依題意有，
∴b=4，c=-3，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3；

（2）如圖，設P（x，y）
∵AB=2，S_△PAB=1
∴×2×|y|=1
∴y=±1
當y=1時，x₁=x₂=2，
當y=-1時，x=2±，
∴滿足條件的點P有三個坐標分別為（2，1），（2+，-1），（2-，-1）；

（3）存在．
過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C'，
∵點C（0，-3），對稱軸為x=2，
∴C′（4，-3），
設直線AC′的解析式為y=kx+b，
則，
∴k=-1，b=1，
∴直線AC′的解析式為y=-x+1，
直線AC′與對稱軸x=2的交點為（2，-1），即M（2，-1），
∴存在點M（2，-1），可使△AMC的周長最小．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是利用待定系數法求拋物線解析式，根據面積公式求P點縱坐標，根據拋物線解析式求P點橫坐標，根據拋物線的對稱性求三角形的最小周長．