Question

23、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過B、C兩點作經過A的直線的垂線，垂足分別為D、E，如圖（1）．
（1）判斷線段BD、DE、EC是什么關系？予以證明；
（2）如圖（2），設O為BC的中點，連接DO、EO，判斷DO、EO有什么關系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件及互余關系可證△ABD≌△CAE，則BD=AE，AD=CE，由DE=AD-AE，得出線段BD、DE、EC的關系；
（2）過O點作OG⊥AD，垂足為G點，根據O點為BC的中點，證明OG為線段DE的垂直平分線，再根據垂直平分線的性質得出結論．

解答：解：（1）DE=EC-BD．
理由：∵∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，
∴△ABD≌△CAE，BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD-AE=EC-BD；

（2）DO=EO．
理由：如圖2，過O點作OG⊥AD，垂足為G點，
∵O點為BC的中點，BD⊥AD，CE⊥AD，
∴G點為DE的中點，即OG為線段DE的垂直平分線，
∴DO=EO．

點評：本題考查了三角形全等的判定及性質，線段垂直平分線的判斷與性質．關鍵是靈活運用判定與性質解題．