Question

如圖1，B是長度為1的線段AE上任意一點，在AE的同一側分別作正方形ABCD和長方形BEFG，且EF=2BE．

（1）點B在何處時，正方形ABCD的面積與長方形BEFG的面積和最小，最小值為多少？
（2）若點C與點G重合，M為AB中點，N為EF中點，MN與BC交于點H（如圖2所示），將△OMA沿直線DM，△MNE沿直線MN分別向矩形AEFD內折疊，求四邊形DMNF未被兩個折疊三角形覆蓋的圖形面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質和折疊的特點可用含x的式子表示出線段的長度，用含x的式子表示出正方形ABCD的面積與長方形BEFG的面積和利用二次函數的最值問題求出，當x=，即BE=，S_最小=．
（2）根據（1）可知BE=時，AB=AD=，所以四邊形DMNF未被兩個折疊三角形覆蓋的圖形面積為：-4×××=．
解答：解：（1）設BE=x，則AB=1-x，EF=2x，根據題意得：
S=（x-1）²+2x²=3x²-2x+1，
當x=，即BE=，S_最小=．

（2）當BE=時，AB=AD=，
所以四邊形DMNF未被兩個折疊三角形覆蓋的圖形面積為：-4×××=．
點評：主要考查了展開與折疊，正方形和二次函數的綜合題．要掌握數形結合的方法，會利用二次函數的最值找到幾何圖形著的動點問題的最值．