Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可；
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．
解答：（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，
∴AD=DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=∠EDF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠GAD=45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∵M，N分別是BG，DF的中點，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四邊形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，
即CD²+2CD-15=0，
解得CD=3，CD=-5（舍去），
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2，
∵N是DF的中點，
∴EN=DN=DF=×2=1，
∴CN=CD-DN=3-1=2，
∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．
點評：本題考查了直角梯形的性質，軸對稱的性質，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握軸對稱的性質判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．