Question

若一個圓錐的底面積是側面積的

1

3

，則該圓錐側面展開圖的圓心角度數是

 

度．

Answer 1

分析：根據圓錐的底面積是側面積的

1

3

得到圓錐底面半徑和母線長的關系，根據圓錐側面展開圖的弧長=底面周長即可求得圓錐側面展開圖的圓心角度數．

解答：解：設底面圓的半徑為r，側面展開扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n°．
由題意得S_底面面積=πr²，
l_底面周長=2πr，
S_扇形=3S_底面面積=3πr²，
l_扇形弧長=l_底面周長=2πr．
由S_扇形=

1

2

l_扇形弧長×R得3πr²=

1

2

×2πr×R，
故R=3r．
由l_扇形弧長=

nπR

180

得：
2πr=

nπ×3r

180

，
解得n=120．

點評：本題通過圓錐的底面和側面，結合有關圓、扇形的一些計算公式，重點考查空間想象能力、綜合應用能力．熟記圓的面積和周長公式、扇形的面積和兩個弧長公式并靈活應用是解答本題的關鍵．