Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；
（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）解：設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，解得 ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3．

設P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB= PM（xP﹣xC）+ PM（xB﹣xP）= PM（xB﹣xC）= PM．

∴S△BCM= （﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當x= 時，△BCM的面積最大．

此時P（ ， ），∴PN=ON= ，

∴BN=OB﹣ON=3﹣ = ．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB= ．

C△BCN=BN+PN+PB=3+ ．

∴當△BCM的面積最大時，△BPN的周長為3+

（3）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON= ，由勾股定理得：CN= ．

設點D為CN中點，則D（ ， ），CD=ND= ．

如解答圖，△CNQ為直角三角形，

①若點Q為直角頂點．

作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對稱軸交于Q1、Q2兩點，由圓周角定理可知，Q1、Q2兩點符合題意．

連接Q1D，則Q1D=CD=ND= ．

過點D（ ， ）作對稱軸的垂線，垂足為E，

則E（1， ），Q1E=Q2E，DE=1﹣ = ．

在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：

Q1E= = ．

∴Q1（1， ），Q2（1， ）；

②若點N為直角頂點．

過點N作NF⊥CN，交對稱軸于點Q3，交y軸于點F．

易證Rt△NFO∽Rt△CNO，則 = ，即 ，解得OF= ．

∴F（0，﹣ ），又∵N（ ，0），

∴可求得直線FN的解析式為：y= x﹣ ．

當x=1時，y=﹣ ，

∴Q3（1，﹣ ）；

③當點C為直角頂點時．

過點C作Q4C⊥CN，交對稱軸于點Q4．

∵Q4C∥FN，∴可設直線Q4C的解析式為：y= x+b，

∵點C（0，3）在該直線上，∴b=3．

∴直線Q4C的解析式為：y= x+3，

當x=1時，y= ，

∴Q4（1， ）．

綜上所述，滿足條件的點Q有4個，

其坐標分別為：Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，﹣ ），Q4（1， ）．

【解析】（1）根據函數解析式由x=0求出點C的坐標，由y=0,求出點A、B的坐標。
（2）先求出直線BC的函數解析式，抓住PM∥y軸，設出點P、M的坐標（點P、M的橫坐標相同），就可以求出S△BCM與x的函數解析式，即可求出點P的坐標，再求出PN、BP、BN的長，即可求出△BPN的周長。
（3）在Rt△CON中，利用勾股定理可求出CN的長，再求出CN的中點D的坐標，然后分類討論：①若點Q為直角頂點．②若點N為直角頂點．③當點C為直角頂點時．運用勾股定理、相似三角形的性質和判定、一次函數等相關知識進行解答。