Question

（2006•徐州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=，求BC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：此題首先要掌握?qǐng)A的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角；根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠PAO=90°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠AOP=∠CBA，所以可證得△ABC∽△POA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得BC的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
則△ABC∽△POA．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=，
∴．
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴．
則BC=．
∴求得BC=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．