Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD，過點D作DE⊥x軸，垂足為E．
（1）求點A、B的坐標，并求邊AB的長；
（2）求點D的坐標；
（3）你能否在x軸上找一點M，使△MDB的周長最小？如果能，請求出M點的坐標；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）小題把x=0和y=0分別代入y=

1

2

x+2，求出y x的值即可；
（2）證△DEA≌△AOB，證出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐標；
（3）先作出D關于X軸的對稱點F，連接BF，BF于X軸交點M就是符合條件的點，求出F的坐標，進而求出直線BF，再求出與X軸交點即可．

解答：解：（1）y=

1

2

x+2，
當x=0時，y=2，
當y=0時，x=-4，
由勾股定理得：AB=

22+42

=2

5

，
∴點A的坐標為（-4，0）、B的坐標為（0，2），邊AB的長為2

5

；

（2）證明：∵正方形ABCD，X軸⊥Y軸，
∴∠DAB=∠AOB=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAO=90°∠BAO+∠ABO=90°，
在△DEA與△AOB中，

∠DAE=∠ABO ∠DEA=∠BOA DA=BA

，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴OA=DE=4，AE=OB=2，
∴OE=6，
 所以點D的坐標為（-6，4）；

（3）能，過D關于X軸的對稱點F，連接BF交x軸于M，則M符合要求，
∵點D（-6，4）關于x軸的對稱點F坐標為（-6，-4），
設直線BF的解析式為：y=kx+b，把B F點的坐標代入得：

2=b -4=-6k+b

，
解得：

k=1 b=2

，
∴直線BF的解析式為y=x+2，
當y=0時，x=-2，
∴M的坐標是（-2，0），
答案是：當點M（-2，0）時，使MD+MB的值最小．

點評：本題主要考查了一次函數的性質，能求與X軸 Y軸的交點坐標和理解有關最小值問題是解本題的關鍵，難點是理解MD+MB的值最小如何求．