Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線y=a（x-）2+與⊙M交于A，B，C，D四點，點A，B在x軸上，點C坐標為（0，-2）．

（1）求a值及A，B兩點坐標；

（2）點P（m，n）是拋物線上的動點，當∠CPD為銳角時，請求出m的取值范圍；

（3）點E是拋物線的頂點，⊙M沿CD所在直線平移，點C，D的對應點分別為點C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長是否存在最小值？若存在，請求出此時圓心M′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）

【解析】

(1)把點C坐標代入拋物線解析式即可求出a,令y=0可得拋物線與x軸的交點坐標.

(2)根據題意可知,當點P在圓外部的拋物線上運動時,∠CPD為銳角,由此即可解決問題.

(3)存在.如圖2中,將線段C'A平移至D'F,當點D'與點H重合時,四邊形AC'D'E的周長最小,求出點H坐標即可解決問題.

解：（1）∵拋物線y=a（x-）2+經過點C（0，-2），

∴-2=a（0-）2+，

∴a=-，

∴y=-（x-）2+，

當y=0時，-（x-）2+=0，

∴x1=4，x2=1，

∵A、B在x軸上，

∴A（1，0），B（4，0）．

（2）由（1）可知拋物線解析式為y=-（x-）2+，

∴C、D關于對稱軸x=對稱，

∵C（0，-2），

∴D（5，-2），

如圖1中，連接AD、AC、CD，則CD=5，

∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），

∴AC=，AD=2，

∴AC2+AD2=CD2，

∴∠CAD=90°，

∴CD為⊙M的直徑，

∴當點P在圓外部的拋物線上運動時，∠CPD為銳角，

∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．

（3）存在．如圖2中，將線段C′A平移至D′F，則AF=C′D′=CD=5，

∵A（1，0），

∴F（6，0），

作點E關于直線CD的對稱點E′，

連接EE′正好經過點M，交x軸于點N，

∵拋物線頂點（，），直線CD為y=-2，

∴E′（，-），

連接E′F交直線CD于H，

∵AE，C′D′是定值，

∴AC′+ED′最小時，四邊形AC′D′E的周長最小，

∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，

則當點D′與點H重合時，四邊形AC′D′E的周長最小，

設直線E′F的解析式為y=kx+b，

∵E′（，-），F（6，0），

∴可得y=x-，

當y=-2時，x=，

∴H（，-2），∵M（，-2），

∴DD′=5-=，

∵-=，

∴M′（，-2）