Question

（2013•平陽縣二模）如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD頂點B的坐標為（5，5），AD在x軸上，BC∥AD，對角線AC⊥BD于點E，若BE=

5

，則梯形ABCD的面積是

125

4

．

Answer 1

分析：作BH⊥AD于H，利用B點坐標可得到AH=BH=5，則AB=5

2

，再利用勾股定理可計算出AE=3

5

，易證得Rt△ADE∽Rt△BDH，利用相似比得

5+DH

BD

=

3 5

5

=

BD- 5

DH

，于是可得到關于BD與DH的二元一次方程組，解得解得

BD= 5 5 2 DH= 5 2

，則AD=

15

2

，DE=

3 5

2

，由BC∥AD得到△BEC∽△DEA，利用

BC

AD

=

BE

DE

可計算出BC，然后根據梯形的面積公式求解．

解答：解：作BH⊥AD于H，如圖，
∵B的坐標為（5，5），
∴AH=BH=5，
∴AB=5

2

，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，BE=

5

，AB=5

2

，
∴AE=

AB2-BE2

=3

5

，
∵∠ADE=∠BDH，
∴Rt△ADE∽Rt△BDH，
∴

AD

BD

=

AE

BH

=

DE

DH

，即

5+DH

BD

=

3 5

5

=

BD- 5

DH

，
∴

3 5 BD=25+5DH 5BD=5 5 +3 5 DH

，解得

BD= 5 5 2 DH= 5 2

，

∴AD=AH+DH=5+

5

2

=

15

2

，DE=BD-BE=

3 5

2

，
∵BC∥AD，
∴△BEC∽△DEA，
∴

BC

AD

=

BE

DE

，即

BC

15 2

=

5

3 5 2

，
∴BC=5，
∴梯形ABCD的面積=

1

2

BH•（BC+AD）=

1

2

×5×（5+

15

2

）=

125

4

．
故答案為

125

4

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了坐標與圖形、勾股定理．